\(a,b,c \geq 1\)を整数とするとき、多項式\(X^a + Y^b + Z^c\)が環\(\mathbb{C}[X,Y,Z]\)で既約であることを示せ。

\(a=b=c=1\)であれば問題は既約性は明らかなので、\(a,b,c\)のどれかは\(\neq 1\)であると仮定しても良い。

\(X = x^{bc}, Y = y^{ca}, Z=z^{ab}, n=abc > 1\)と置き換えることで、\(f(x,y,z):\overset{\mathrm{{\scriptsize def}}}{=} x^n+y^n+z^n\)が環\(\mathbb{C}[x,y,z]\)で既約であることを示す問題に帰着される。\(f=gh\)となる\(g\in \mathbb{C}[x,y,z]\setminus \mathbb{C}, h\in \mathbb{C}[x,y,z]\)をとる。\(h\in \mathbb{C}\)を示せばよい。もし\(g,h\)のいずれかが斉次多項式でないならば、次数最大の項どうしと次数最小の項どうしを掛け合わせることによって\(f\)の斉次性に矛盾する。よって\(g,h\)はともに斉次多項式である。

\(h\)が定数多項式でないと仮定する。このとき、\((g,h)\subset (x,y,z)\)となる。また、\(\dim \mathbb{C}[x,y,z]_{(x,y,z)} = 3\)であることから、\(\dim \mathbb{C}[x,y,z]/(g,h) \geq 1\)が従うので、ある\(p:\overset{\mathrm{{\scriptsize def}}}{=} (x_0,y_0,z_0)\in \mathbb{C}^3\setminus\{(0,0,0)\}\)が存在して、\(g(x_0,y_0,z_0) = h(x_0,y_0,z_0) = 0\)が成り立つ。\(f=gh\)であるから\(\partial_xf = g\partial_xh + h\partial_xg\)が成り立ち、従って、\(\partial_xf(x_0,y_0,z_0) = 0\)が成り立つ。同様に、\(\partial_yf(x_0,y_0,z_0) = \partial_zf(x_0,y_0,z_0) = 0\)が成り立つ。さて、\(f(x,y,z) = x^n+y^n+z^n\)であるから、\[(\partial_xf(x,y,z), \partial_yf(x,y,z), \partial_zf(x,y,z)) = (nx^{n-1}, ny^{n-1}, nz^{n-1})\]である。\(n > 1\)なので、従って、\[(\partial_xf(x,y,z), \partial_yf(x,y,z), \partial_zf(x,y,z)) = (0,0,0) \ \Rightarrow x=y=z=0\]となる。これは\((x_0,y_0,z_0) \neq (0,0,0)\)と\[\partial_xf(x_0,y_0,z_0) = \partial_yf(x_0,y_0,z_0) = \partial_zf(x_0,y_0,z_0) = 0\]に矛盾する。以上より\(h\)は定数多項式であり、これは\(f\)の既約性を示している。