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Problem

問題

Problem

\(a,b,c \geq 1\)を互いに素、つまり\(a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z} + c\mathbb{Z} = \mathbb{Z}\)となる整数とする。\(A:\overset{\mathrm{\small def}}{=} \mathbb{C}[X,Y,Z]/(X^a-Y^bZ^c)\)とする。

  • (1) \(A\)が整域であることを示しなさい。
  • (2) \(a=b\)と仮定する。このとき、商体の間に同型を引き起こすような環準同型\(A\to \mathbb{C}[V,W]\)であって、\(\mathbb{C}[V,W]\)が\(A\)-加群として有限生成であるようなものが存在することを示しなさい。

東大院試 2021年 専門数学 B4

Solution

(1)を示す。そのためには、\(X^a-Y^bZ^c\)が既約であることを証明すれば十分である。もし\(X^a-Y^bZ^c = gh\)となる\(g,h\in \mathbb{C}[X,Y,Z]\setminus \mathbb{C}\)が存在すれば、\(X^a-Y^bZ^c\)が\(X\)に関してモニックであることから、\(g,h\not\in \mathbb{C}[Y,Z]\)が従う。よって、\(X^a-Y^bZ^c\)が既約であることを証明するためには、それが\(\mathbb{C}(Y,Z)[X]\)で既約であることを証明すれば十分である。環準同型\[\psi: \mathbb{C}(Y,Z)[X] \to \mathbb{C}(Y^{1/a},Z^{1/a})\]を\(\psi(X) :\overset{\mathrm{\small def}}{=} Y^{b/a}Z^{c/a}\)によって定める。このとき、\(a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z} + c\mathbb{Z} = \mathbb{Z}\)であるから、任意の\(i=0,\cdots, a-1\)に対して\[\psi(X^i)\not\in \mathbb{C}(Y,Z)\subset \mathbb{C}(Y^{1/a},Z^{1/a})\]である。従って\[\dim_{\mathbb{C}(Y,Z)\text{-vect}}(\mathrm{Im}(\psi)) = a\]が成り立つ。一方、\[\dim_{\mathbb{C}(Y,Z)\text{-vect}}(\mathbb{C}(Y,Z)[X]/(X^a-Y^bZ^c)) = a\]であり、さらに\(\varphi(X^a-Y^bZ^c) = 0\)であるから、以上より\(\ker(\psi) = (X^a-Y^bZ^c)\)が従う。\(\mathrm{Im}(\psi)\)は体の部分環なので整域であり、従って、これは\(X^a-Y^bZ^c\)が\(\mathbb{C}(Y,Z)[X]\)の素元であることを示している。以上で(1)の証明を完了する。

(2)を示す。\(\varphi(X) = VW^c, \varphi(Y) = V, \varphi(Z) = W^a\)により環準同型\[\varphi:\mathbb{C}[X,Y,Z]\to \mathbb{C}[V,W]\]を定める。\(a=b\)なので、\(\varphi(X^a-Y^bZ^c) = V^aW^{ac} - V^bW^{ac} = 0\)となる。また、\(\mathbb{C}[V,W]\)は\(\mathrm{Im}(\varphi)\)-加群として\(1,W,\cdots,W^{a-1}\)で生成されるので有限生成であり、従って\(\dim(\mathrm{Im}(\varphi)) = \dim(\mathbb{C}[V,W]) = 2\)となる。\(\mathrm{Im}(\varphi)\)は整域の部分環なので整域であり、さらに\(\dim(\mathbb{C}[X,Y,Z]) = 3, \dim(\mathrm{Im}(\varphi)) = 2\)なので、従って\(\ker(\varphi)\)は高さ\(1\)の素イデアルである。\(\mathbb{C}[X,Y,Z]\)はネーターかつUFDなので、従って\(\ker(\varphi)\)は一元生成である。(1)より\(X^a-Y^bZ^c\)は\(\mathbb{C}[X,Y,Z]\)の素元なので、以上より\(\ker(\varphi) = (X^a-Y^bZ^c)\)が従う。

残っているのは包含関係\(\mathrm{Im}(\varphi)\subset \mathbb{C}[V,W]\)により引き起こされる商体の間の拡大が自明となることである。\(K\)を\(\mathrm{Im}(\varphi)\)の商体とする。このとき、\(K\subset \mathbb{C}(V,W)\)である。\(K = \mathbb{C}(V,W)\)を示すためには、\(W\in K\)を証明することが十分である。\(a\mathbb{Z} + c\mathbb{Z} = \mathbb{Z}\)なので、\(ak+cl=1\)となる\(k,l\in \mathbb{Z}\)が存在する。すると\[W = (VW^c)^l \times V^{-l} \times (W^a)^k = \varphi(X^lZ^k)/\varphi(Y^l)\in K\]がわかる。以上で\(K=\mathbb{C}(V,W)\)が示され、(2)の証明を完了する。

Problem

\(a,b,c \geq 1\)を互いに素、つまり\(a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z} + c\mathbb{Z} = \mathbb{Z}\)となる整数とする。\(A:\overset{\mathrm{\small def}}{=} \mathbb{C}[X,Y,Z]/(X^a-Y^bZ^c)\)とする。

  • (1) \(A\)が整域であることを示しなさい。
  • (2) \(a=b\)と仮定する。このとき、商体の間に同型を引き起こすような環準同型\(A\to \mathbb{C}[V,W]\)であって、\(\mathbb{C}[V,W]\)が\(A\)-加群として有限生成であるようなものが存在することを示しなさい。

東大院試 2021年 専門数学 B4

Solution

(1)を示す。そのためには、\(X^a-Y^bZ^c\)が既約であることを証明すれば十分である。もし\(X^a-Y^bZ^c = gh\)となる\(g,h\in \mathbb{C}[X,Y,Z]\setminus \mathbb{C}\)が存在すれば、\(X^a-Y^bZ^c\)が\(X\)に関してモニックであることから、\(g,h\not\in \mathbb{C}[Y,Z]\)が従う。よって、\(X^a-Y^bZ^c\)が既約であることを証明するためには、それが\(\mathbb{C}(Y,Z)[X]\)で既約であることを証明すれば十分である。環準同型\[\psi: \mathbb{C}(Y,Z)[X] \to \mathbb{C}(Y^{1/a},Z^{1/a})\]を\(\psi(X) :\overset{\mathrm{\small def}}{=} Y^{b/a}Z^{c/a}\)によって定める。このとき、\(a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z} + c\mathbb{Z} = \mathbb{Z}\)であるから、任意の\(i=0,\cdots, a-1\)に対して\[\psi(X^i)\not\in \mathbb{C}(Y,Z)\subset \mathbb{C}(Y^{1/a},Z^{1/a})\]である。従って\[\dim_{\mathbb{C}(Y,Z)\text{-vect}}(\mathrm{Im}(\psi)) = a\]が成り立つ。一方、\[\dim_{\mathbb{C}(Y,Z)\text{-vect}}(\mathbb{C}(Y,Z)[X]/(X^a-Y^bZ^c)) = a\]であり、さらに\(\varphi(X^a-Y^bZ^c) = 0\)であるから、以上より\(\ker(\psi) = (X^a-Y^bZ^c)\)が従う。\(\mathrm{Im}(\psi)\)は体の部分環なので整域であり、従って、これは\(X^a-Y^bZ^c\)が\(\mathbb{C}(Y,Z)[X]\)の素元であることを示している。以上で(1)の証明を完了する。

(2)を示す。\(\varphi(X) = VW^c, \varphi(Y) = V, \varphi(Z) = W^a\)により環準同型\[\varphi:\mathbb{C}[X,Y,Z]\to \mathbb{C}[V,W]\]を定める。\(a=b\)なので、\(\varphi(X^a-Y^bZ^c) = V^aW^{ac} - V^bW^{ac} = 0\)となる。また、\(\mathbb{C}[V,W]\)は\(\mathrm{Im}(\varphi)\)-加群として\(1,W,\cdots,W^{a-1}\)で生成されるので有限生成であり、従って\(\dim(\mathrm{Im}(\varphi)) = \dim(\mathbb{C}[V,W]) = 2\)となる。\(\mathrm{Im}(\varphi)\)は整域の部分環なので整域であり、さらに\(\dim(\mathbb{C}[X,Y,Z]) = 3, \dim(\mathrm{Im}(\varphi)) = 2\)なので、従って\(\ker(\varphi)\)は高さ\(1\)の素イデアルである。\(\mathbb{C}[X,Y,Z]\)はネーターかつUFDなので、従って\(\ker(\varphi)\)は一元生成である。(1)より\(X^a-Y^bZ^c\)は\(\mathbb{C}[X,Y,Z]\)の素元なので、以上より\(\ker(\varphi) = (X^a-Y^bZ^c)\)が従う。

残っているのは包含関係\(\mathrm{Im}(\varphi)\subset \mathbb{C}[V,W]\)により引き起こされる商体の間の拡大が自明となることである。\(K\)を\(\mathrm{Im}(\varphi)\)の商体とする。このとき、\(K\subset \mathbb{C}(V,W)\)である。\(K = \mathbb{C}(V,W)\)を示すためには、\(W\in K\)を証明することが十分である。\(a\mathbb{Z} + c\mathbb{Z} = \mathbb{Z}\)なので、\(ak+cl=1\)となる\(k,l\in \mathbb{Z}\)が存在する。すると\[W = (VW^c)^l \times V^{-l} \times (W^a)^k = \varphi(X^lZ^k)/\varphi(Y^l)\in K\]がわかる。以上で\(K=\mathbb{C}(V,W)\)が示され、(2)の証明を完了する。

Problem

問題

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\(a,b,c \geq 1\)を互いに素、つまり\(a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z} + c\mathbb{Z} = \mathbb{Z}\)となる整数とする。\(A:\overset{\mathrm{\small def}}{=} \mathbb{C}[X,Y,Z]/(X^a-Y^bZ^c)\)とする。

  • (1) \(A\)が整域であることを示しなさい。
  • (2) \(a=b\)と仮定する。このとき、商体の間に同型を引き起こすような環準同型\(A\to \mathbb{C}[V,W]\)であって、\(\mathbb{C}[V,W]\)が\(A\)-加群として有限生成であるようなものが存在することを示しなさい。

東大院試 2021年 専門数学 B4

Solution

(1)を示す。そのためには、\(X^a-Y^bZ^c\)が既約であることを証明すれば十分である。もし\(X^a-Y^bZ^c = gh\)となる\(g,h\in \mathbb{C}[X,Y,Z]\setminus \mathbb{C}\)が存在すれば、\(X^a-Y^bZ^c\)が\(X\)に関してモニックであることから、\(g,h\not\in \mathbb{C}[Y,Z]\)が従う。よって、\(X^a-Y^bZ^c\)が既約であることを証明するためには、それが\(\mathbb{C}(Y,Z)[X]\)で既約であることを証明すれば十分である。環準同型\[\psi: \mathbb{C}(Y,Z)[X] \to \mathbb{C}(Y^{1/a},Z^{1/a})\]を\(\psi(X) :\overset{\mathrm{\small def}}{=} Y^{b/a}Z^{c/a}\)によって定める。このとき、\(a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z} + c\mathbb{Z} = \mathbb{Z}\)であるから、任意の\(i=0,\cdots, a-1\)に対して\[\psi(X^i)\not\in \mathbb{C}(Y,Z)\subset \mathbb{C}(Y^{1/a},Z^{1/a})\]である。従って\[\dim_{\mathbb{C}(Y,Z)\text{-vect}}(\mathrm{Im}(\psi)) = a\]が成り立つ。一方、\[\dim_{\mathbb{C}(Y,Z)\text{-vect}}(\mathbb{C}(Y,Z)[X]/(X^a-Y^bZ^c)) = a\]であり、さらに\(\varphi(X^a-Y^bZ^c) = 0\)であるから、以上より\(\ker(\psi) = (X^a-Y^bZ^c)\)が従う。\(\mathrm{Im}(\psi)\)は体の部分環なので整域であり、従って、これは\(X^a-Y^bZ^c\)が\(\mathbb{C}(Y,Z)[X]\)の素元であることを示している。以上で(1)の証明を完了する。

(2)を示す。\(\varphi(X) = VW^c, \varphi(Y) = V, \varphi(Z) = W^a\)により環準同型\[\varphi:\mathbb{C}[X,Y,Z]\to \mathbb{C}[V,W]\]を定める。\(a=b\)なので、\(\varphi(X^a-Y^bZ^c) = V^aW^{ac} - V^bW^{ac} = 0\)となる。また、\(\mathbb{C}[V,W]\)は\(\mathrm{Im}(\varphi)\)-加群として\(1,W,\cdots,W^{a-1}\)で生成されるので有限生成であり、従って\(\dim(\mathrm{Im}(\varphi)) = \dim(\mathbb{C}[V,W]) = 2\)となる。\(\mathrm{Im}(\varphi)\)は整域の部分環なので整域であり、さらに\(\dim(\mathbb{C}[X,Y,Z]) = 3, \dim(\mathrm{Im}(\varphi)) = 2\)なので、従って\(\ker(\varphi)\)は高さ\(1\)の素イデアルである。\(\mathbb{C}[X,Y,Z]\)はネーターかつUFDなので、従って\(\ker(\varphi)\)は一元生成である。(1)より\(X^a-Y^bZ^c\)は\(\mathbb{C}[X,Y,Z]\)の素元なので、以上より\(\ker(\varphi) = (X^a-Y^bZ^c)\)が従う。

残っているのは包含関係\(\mathrm{Im}(\varphi)\subset \mathbb{C}[V,W]\)により引き起こされる商体の間の拡大が自明となることである。\(K\)を\(\mathrm{Im}(\varphi)\)の商体とする。このとき、\(K\subset \mathbb{C}(V,W)\)である。\(K = \mathbb{C}(V,W)\)を示すためには、\(W\in K\)を証明することが十分である。\(a\mathbb{Z} + c\mathbb{Z} = \mathbb{Z}\)なので、\(ak+cl=1\)となる\(k,l\in \mathbb{Z}\)が存在する。すると\[W = (VW^c)^l \times V^{-l} \times (W^a)^k = \varphi(X^lZ^k)/\varphi(Y^l)\in K\]がわかる。以上で\(K=\mathbb{C}(V,W)\)が示され、(2)の証明を完了する。

Problem

\(a,b,c \geq 1\)を互いに素、つまり\(a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z} + c\mathbb{Z} = \mathbb{Z}\)となる整数とする。\(A:\overset{\mathrm{\small def}}{=} \mathbb{C}[X,Y,Z]/(X^a-Y^bZ^c)\)とする。

  • (1) \(A\)が整域であることを示しなさい。
  • (2) \(a=b\)と仮定する。このとき、商体の間に同型を引き起こすような環準同型\(A\to \mathbb{C}[V,W]\)であって、\(\mathbb{C}[V,W]\)が\(A\)-加群として有限生成であるようなものが存在することを示しなさい。

東大院試 2021年 専門数学 B4

Solution

(1)を示す。そのためには、\(X^a-Y^bZ^c\)が既約であることを証明すれば十分である。もし\(X^a-Y^bZ^c = gh\)となる\(g,h\in \mathbb{C}[X,Y,Z]\setminus \mathbb{C}\)が存在すれば、\(X^a-Y^bZ^c\)が\(X\)に関してモニックであることから、\(g,h\not\in \mathbb{C}[Y,Z]\)が従う。よって、\(X^a-Y^bZ^c\)が既約であることを証明するためには、それが\(\mathbb{C}(Y,Z)[X]\)で既約であることを証明すれば十分である。環準同型\[\psi: \mathbb{C}(Y,Z)[X] \to \mathbb{C}(Y^{1/a},Z^{1/a})\]を\(\psi(X) :\overset{\mathrm{\small def}}{=} Y^{b/a}Z^{c/a}\)によって定める。このとき、\(a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z} + c\mathbb{Z} = \mathbb{Z}\)であるから、任意の\(i=0,\cdots, a-1\)に対して\[\psi(X^i)\not\in \mathbb{C}(Y,Z)\subset \mathbb{C}(Y^{1/a},Z^{1/a})\]である。従って\[\dim_{\mathbb{C}(Y,Z)\text{-vect}}(\mathrm{Im}(\psi)) = a\]が成り立つ。一方、\[\dim_{\mathbb{C}(Y,Z)\text{-vect}}(\mathbb{C}(Y,Z)[X]/(X^a-Y^bZ^c)) = a\]であり、さらに\(\varphi(X^a-Y^bZ^c) = 0\)であるから、以上より\(\ker(\psi) = (X^a-Y^bZ^c)\)が従う。\(\mathrm{Im}(\psi)\)は体の部分環なので整域であり、従って、これは\(X^a-Y^bZ^c\)が\(\mathbb{C}(Y,Z)[X]\)の素元であることを示している。以上で(1)の証明を完了する。

(2)を示す。\(\varphi(X) = VW^c, \varphi(Y) = V, \varphi(Z) = W^a\)により環準同型\[\varphi:\mathbb{C}[X,Y,Z]\to \mathbb{C}[V,W]\]を定める。\(a=b\)なので、\(\varphi(X^a-Y^bZ^c) = V^aW^{ac} - V^bW^{ac} = 0\)となる。また、\(\mathbb{C}[V,W]\)は\(\mathrm{Im}(\varphi)\)-加群として\(1,W,\cdots,W^{a-1}\)で生成されるので有限生成であり、従って\(\dim(\mathrm{Im}(\varphi)) = \dim(\mathbb{C}[V,W]) = 2\)となる。\(\mathrm{Im}(\varphi)\)は整域の部分環なので整域であり、さらに\(\dim(\mathbb{C}[X,Y,Z]) = 3, \dim(\mathrm{Im}(\varphi)) = 2\)なので、従って\(\ker(\varphi)\)は高さ\(1\)の素イデアルである。\(\mathbb{C}[X,Y,Z]\)はネーターかつUFDなので、従って\(\ker(\varphi)\)は一元生成である。(1)より\(X^a-Y^bZ^c\)は\(\mathbb{C}[X,Y,Z]\)の素元なので、以上より\(\ker(\varphi) = (X^a-Y^bZ^c)\)が従う。

残っているのは包含関係\(\mathrm{Im}(\varphi)\subset \mathbb{C}[V,W]\)により引き起こされる商体の間の拡大が自明となることである。\(K\)を\(\mathrm{Im}(\varphi)\)の商体とする。このとき、\(K\subset \mathbb{C}(V,W)\)である。\(K = \mathbb{C}(V,W)\)を示すためには、\(W\in K\)を証明することが十分である。\(a\mathbb{Z} + c\mathbb{Z} = \mathbb{Z}\)なので、\(ak+cl=1\)となる\(k,l\in \mathbb{Z}\)が存在する。すると\[W = (VW^c)^l \times V^{-l} \times (W^a)^k = \varphi(X^lZ^k)/\varphi(Y^l)\in K\]がわかる。以上で\(K=\mathbb{C}(V,W)\)が示され、(2)の証明を完了する。