非負の実数\(x,y,z \geq 0\)が\(x+y+z=1\)を満たすとする。このとき、以下の不等式が成り立つことを示せ：\[0\leq xy+yz+zx - 2xyz \leq \frac{7}{27}.\]

\begin{align*}&xy+yz+zx - 2xyz \\&= (x+y+z)(xy+yz+zx) - 2xyz \\&= x^2(y+z) + y^2(z+x) + z^2(x+y) + xyz \\&\geq 0\end{align*}なので問題の左側の不等号が成立する。相加相乗平均の関係より\begin{align*}&xy+yz+zx - 2xyz \\&= (x+y+z)(xy+yz+zx) - 2xyz \\&= x^2(y+z) + y^2(z+x) + z^2(x+y) + xyz \\&\leq \frac{28}{27}(x^2(y+z) + y^2(z+x) + z^2(x+y)) + \frac{7}{9}xyz \\&= \frac{7}{27}(4x^2(y+z) + 4y^2(z+x) + 4z^2(x+y) + 3xyz)\end{align*}が成り立ち、シューアの不等式より\[4x^2(y+z) + 4y^2(z+x) + 4z^2(x+y) + 3xyz \leq (x+y+z)^3 = 1\]が成り立つので、よって問題の上からの不等号も成立する。以上で証明を完了する。