正の実数\(x,y,z \geq 0\)が\(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1\)を満たすとする。このとき、以下の不等式が成り立つことを示せ：\[\frac{x^2+yz}{\sqrt{2x^2(y+z)}} + \frac{y^2+zx}{\sqrt{2y^2(z+x)}} + \frac{z^2+xy}{\sqrt{2z^2(x+y)}} \geq 1.\]

対称式なので\(x\geq y\geq z\)と仮定しても良い。すると\begin{align*}x^2(y+z) - y^2(z+x) &= xy(x-y) + z(x^2 - y^2) \geq 0, \\y^2(z+x) - z^2(x+y) &= yz(y-z) + x(y^2 - z^2) \geq 0\end{align*}となるので,\(A:\overset{\mathrm{{\scriptsize def}}}{=} \frac{1}{\sqrt{2x^2(y+z)}},B:\overset{\mathrm{{\scriptsize def}}}{=} \frac{1}{\sqrt{2y^2(z+x)}},C:\overset{\mathrm{{\scriptsize def}}}{=} \frac{1}{\sqrt{2z^2(x+y)}}\)とおけば\(A\leq B \leq C\)が成り立つ。問題の不等式は\[A(x^2+yz) + B(y^2+zx) + C(z^2+xy) \geq 1\]に帰着される。ここで\begin{align*}& A(x-y)(x-z) + B(y-z)(y-x) + C(z-x)(z-y) \\&= A(x-y)(x-y + y-z) - B(x-y)(y-z) + C(x-y+y-z)(y-z) \\&= A(x-y)^2 + C(y-z)^2 + (A-B+C)(x-y)(y-z) \\&\geq 0\end{align*}が成り立つので、\[A(x^2+yz) + B(y^2+zx) + C(z^2+xy) \geq Ax(y+z) + By(z+x) + Cz(x+y)\]が成り立つ。また、\(\sqrt{x}\)は上に凸なので、\begin{align*}& Ax(y+z) + By(z+x) + Cz(x+y) \\&= \sqrt{\frac{y+z}{2}} + \sqrt{\frac{z+x}{2}} + \sqrt{\frac{x+y}{2}} \\&\geq \frac{\sqrt{y}+\sqrt{z}}{2} + \frac{\sqrt{z}+\sqrt{x}}{2} + \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{2} \\&\geq \sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} = 1\end{align*}となる。以上で証明を完了する。