実数\(a,b,c,d\)が\(a+b+c+d = 6\)と\(a^2+b^2+c^2+d^2 = 12\)を満たすとする。このとき、以下の不等式が成り立つことを示せ：\[36 \leq 4(a^3+b^3+c^3+d^3) - (a^4+b^4+c^4+d^4) \leq 48.\]

条件より、\begin{align*}&(1-a)^4 + (1-b)^4 + (1-c)^4 + (1-d)^4 \\&= 4 - 4\times 6 + 6\times 12 - 4(a^3+b^3+c^3+d^3) + (a^4+b^4+c^4+d^4) \\&= 52 - 4(a^3+b^3+c^3+d^3) + (a^4+b^4+c^4+d^4)\end{align*}となるので、問題の不等式を証明することは、以下の不等式を証明することと同値である：\[4 \leq (1-a)^4 + (1-b)^4 + (1-c)^4 + (1-d)^4 \leq 16.\]コーシー・シュワルツの不等式より、\begin{align*}&(1-a)^4 + (1-b)^4 + (1-c)^4 + (1-d)^4 \\&\geq 4\times \left( \frac{(1-a)^2 + (1-b)^2 + (1-c)^2 + (1-d)^2}{4}\right)^2 \\&= 4\times \left( \frac{4 - 2\times 6 + 12}{4} \right)^2 \\&= 4\times 1 = 4\end{align*}が従う。等号成立は\(|1-a|=|1-b|=|1-c|=|1-d|\)となるときである。このとき、\(\{a,b,c,d\}\subset \mathbb{R}\)はたかだか\(2\)元集合である。もし\(a=b=c=d\)となるなら、\(a+b+c+d=6\)かつ\(a^2+b^2+c^2+d^2 = 12\)を満たさない。もし\(a=b=c\neq d\)となるなら、\(|1-a|=|1-d|\)より\(a+d = 2\)であるので、\(3a+d=a+b+c+d=6\)と合わせて\(a=2,d=0\)となる。この場合は\(a^2+b^2+c^2+d^2=12\)を満たしている。もし\(a=b\neq c=d\)となるなら、\(|1-a|=|1-c|\)より\(a+c=2\)であるが、これは\(2a+2c=a+b+c+d=6\)に反する。以上より、\((a,b,c,d)\)が\((0,2,2,2)\)の置換となるとき、またそのときにのみ等号が成立することがわかる。

残っているのは上からの評価である。\begin{align*}&(1-a)^2 + (1-b)^2 + (1-c)^2 + (1-d)^2 \\&= 4 - 2(a+b+c+d) + (a^2+b^2+c^2+d^2) \\&= 4 - 2\times 6 + 12 = 4\end{align*}なので、\begin{align*}&(1-a)^4 + (1-b)^4 + (1-c)^4 + (1-d)^4 \\&\leq \left( (1-a)^2 + (1-b)^2 + (1-c)^2 + (1-d)^2\right)^2 \\&= 16\end{align*}となる。等号成立は\(1-a,1-b,1-c,1-d\)のうちどの二つをかけても\(0\)となるときである。すなわち、\(a,b,c,d\)のうちの\(3\)つ以上が\(=1\)となる場合に限り等号が成立する。これは\((a,b,c,d)\)が\((3,1,1,1)\)の置換となるとき、またその場合にのみ実現される。