正の実数\(a,b,c > 0\)が\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = a+b+c\)を満たすとする。このとき、以下の不等式が成り立つことを示せ：\[\frac{1}{(2a+b+c)^2} + \frac{1}{(2b+c+a)^2} + \frac{1}{(2c+a+b)^2} \leq \frac{3}{16}.\]

\[(2a+b+c)^2 = ((a+b)+(a+c))^2 \geq 4(a+b)(a+c)\]なので、これを巡回的に足し合わせることで\begin{align*}&\frac{1}{(2a+b+c)^2} + \frac{1}{(2b+c+a)^2} + \frac{1}{(2c+a+b)^2} \\&\leq \frac{1}{4(a+b)(a+c)} + \frac{1}{4(b+c)(b+a)} + \frac{1}{4(c+a)(c+b)} \\&= \frac{a+b+c}{2(a+b)(b+c)(c+a)} \\&= \frac{a+b+c}{2((a+b+c)(ab+bc+ca) - abc)} \\&\leq \frac{a+b+c}{2\times \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)} \\&= \frac{9}{16(ab+bc+ca)} \\\end{align*}となる。よって不等式\(ab+bc+ca \geq 3\)が証明できればよい。

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = a+b+c\)であるから、\[ab+bc+ca = abc(a+b+c) \leq \frac{1}{3}(ab+bc+ca)^2\]が成り立つ。整理すると\(ab+bc+ca \geq 3\)が従う。以上で証明を完了する。