正の実数\(a,b,c > 0\)が\(a^2\leq b^2+c^2, b^2\leq c^2+a^2, c^2\leq a^2+b^2\)を満たすとする。このとき、以下の不等式が成り立つことを示せ：\[(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)(a^3+b^3+c^3) \geq 4(a^6+b^6+c^6).\]

コーシーシュワルツの不等式より\[(a+b+c)(a^3+b^3+c^3) \geq (a^2+b^2+c^2)^2\]が成り立つ。よって\[(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)(a^3+b^3+c^3) \geq (a^2+b^2+c^2)^3\]となる。次にシューアの不等式より\begin{align*}&(a^2+b^2+c^2)^3 \\&\geq 4(a^4(b^2+c^2) + b^4(c^2+a^2) + c^4(a^2+b^2)) + 3(abc)^2 \\&\geq 4(a^6+b^6+c^6)\end{align*}が成り立つ。よって\begin{align*}&(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)(a^3+b^3+c^3) \\&\geq (a^2+b^2+c^2)^3 \\&\geq 4(a^6+b^6+c^6)\end{align*}となる。以上で証明を完了する。