正の実数\(a,b,c > 0\)が\(abc=1\)を満たすとする。このとき、以下の不等式が成り立つことを示せ：\[a^{b+c}b^{c+a}c^{a+b} \leq 1.\]

\((abc)^{a+b+c} = 1\)で両辺を割ることによって、示すべき不等式は以下に帰着される：\[a^a b^b c^c \geq 1.\]両辺の\(\log\)をとることによって、示すべき不等式は以下に帰着される：\[a\log a + b\log b + c\log c \geq 0.\]

さて、関数\(f(x) = x\log x\)は\(x > 0\)で下に凸である。実際、\begin{align*}f'(x) &= \log x + 1, \\f''(x) &= \frac{1}{x} > 0\end{align*}となる。従って、凸不等式と相加相乗平均の関係と\(\log x\)の単調増加性より\begin{align*}& a\log a + b\log b + c\log c \\&\geq (a+b+c)\log\left( \frac{a+b+c}{3} \right) \\&\geq (a+b+c)\log(abc) = 0\end{align*}が成り立つ。以上で証明を完了する。