ある三角形の三辺の長さとなる正の実数\(a,b,c > 0\)が\(2a > b, 2b > c, 2c > a\)を満たすとする。このとき、以下の不等式が成り立つことを示せ：\[\sqrt{\frac{a}{2b-a}} + \sqrt{\frac{b}{2c-b}} + \sqrt{\frac{c}{2a-c}} \geq \frac{1}{\sqrt{3abc}}.\]

\(\frac{1}{\sqrt{x}}\)は下に凸なので、凸不等式より\begin{align*}&\sqrt{\frac{a}{2b-a}} + \sqrt{\frac{b}{2c-b}} + \sqrt{\frac{c}{2a-c}} \\&= \frac{a}{\sqrt{2ab-a^2}} + \frac{b}{\sqrt{2bc-b^2}} + \frac{c}{\sqrt{2ca-c^2}} \\&\geq \frac{1}{\sqrt{2a^2b + 2b^2c + 2c^2a -a^3-b^3-c^3}}\end{align*}となる。よって問題の不等式を証明することは\[a^3+b^3+c^3 - 2a^2b-2b^2c-2c^2a + 3abc \geq 0\]を証明すること、すなわち\[a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) \geq |(a-b)(b-c)(c-a)|\]を証明することに帰着される。この不等式の両辺は対称式であるので、\(\min\{a,b,c\} = a\)と仮定しても一般性を失わない。\(a,b,c\)がある三角形の三辺の長さをなすことから、\(a+b > c, a+c > b\)であり、これより\(a > |b-c|\)が従う。よって\begin{align*}&a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) \\&= a(b-a)(c-a) + (b-c)(b^2-c^2-ab+ac) \\&= a(b-a)(c-a) + (b-c)^2(b+c-a) \\&\geq a(b-a)(c-a) \\&\geq |b-c|(b-a)(c-a) \\&= |(a-b)(b-c)(c-a)|\end{align*}となる。以上で証明を完了する。