正の実数\(a,b,c,d > 0\)が\(abcd = 1\)と\(a + b + c + d > \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a}\)を満たすとする。このとき、以下の不等式が成り立つことを示せ：\[a + b + c + d < \frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{d}{c} + \frac{a}{d}.\]

相加相乗平均の関係より、\[\frac{a}{b} + \frac{d}{c} + 2\frac{a}{d}\geq 4\sqrt[4]{\frac{a^3d}{bcd^2}}= 4\sqrt[4]{\frac{a^4}{abcd}} = 4a\]が成り立つ。巡回的に足し合わせることで、\begin{align*}&\left( \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a}\right)+ 3\left( \frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{d}{c} + \frac{a}{d}\right) \\&\geq 4(a+b+c+d) \\&> \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a}\right) + 3(a+b+c+d)\end{align*}を得る。両辺から\(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a}\)を引いて\(3\)で割ることで、所望の不等式を得る。